ζ= Iα
En
donde I es el momento de inercia, α aceleración angular, ζ el momento o
torque externo aplicado.
Para una distribución de masa discreta el
Momento de Inercia pueden calcularse con la ecuación:
I = Σmr²
Donde m son las masas puntuales y r
la distancia la distancia al eje de rotación. Si la distribución de masas es
continua el cálculo se hará con un integral.
I = ∫r²dm
Si se conoce el Momento de inercia Io con
relación a un eje que pasa por el centro de masa, es posible calcular el
Momento de Inercia I de un cuerpo de masa
M, con relación a un eje paralelo al primer eje situado a una distancia r, con el Teorema Steiner o de ejes
paralelos, expresado por:
TEMA:
MOMENTO DE
INERCIA
OBJETIVO:
Verificar los
momentos de Inercia de una distribución de masas puntuales y de algunos cuerpos
simétricos. Comprobar el
Teorema de los ejes paralelos o de Steiner.
PROCEDIMIENTO:
DETERMINACIÓN DE
LA CONSTANTE K DEL RESORTE.
1) Colocamos una
varilla en el eje con el resorte, de tal manera que quede simétricamente igual
para ambos extremos.
2) Hacemos girar la
varilla a cierto ángulo θ y a una
distancia r del eje de rotación, medimos la fuerza con la ayuda de un
dinamómetro. Anotamos estos datos en una tabla.
Figura Nº1
3) Repetimos la
misma experiencia a diferentes distancias del radio y con el mismo ángulo θ.
4) Con los datos
obtenidos calculamos la constante k del resorte.
MOMENTO DE INERCIA
DE MASAS PUNTUALES.
5) A partir del
sistema armado anteriormente, colocamos sobre éste dos cilindros de 238 g a cierta distancia del eje de rotación (la
misma para ambos).
6) Hacemos girar la
varilla cierto ángulo y tomamos el tiempo que demora en dar una oscilación
completa. Anotamos estos datos y graficamos.
Figura Nº2
7) Repetimos este
último paso a diferentes distancias del eje rotacional.
MOMENTO DE INERCIA
DE LA ESFERA.
8) Colocamos la
esfera en el eje rotacional.
9) Hacemos girar
cierto ángulo la esfera y la soltamos para calcular el periodo.
Figura Nº3
10)
Anotamos estos datos.
TEOREMA DE EJES
PARALELOS O STEINER.
11)
Colocamos el disco metálico de manera que uno de
los orificios esté sobre el eje rotacional.
12)Hacemos girar el
disco cierto ángulo, lo soltamos y medimos el periodo de tiempo que tarda en
dar una oscilación completa.
Figura Nº4
13)
Repetimos este último pasa tomando diferentes
distancias.
14)
Anotamos los datos en una
tabla y graficamos.
EQUIPOS Y MATERIAL UTILIZADO:
TABLA DE DATOS:
ü Determinar la Constante del Resorte ( K ) :
Θ (rad)
|
r (m)
|
F (N)
|
K (Nm)
|
π
|
0.05
|
1.4
|
0.0223
|
π
|
0.10
|
0.7
|
0.0223
|
π
|
0.15
|
0.5
|
0.0238
|
π
|
0.20
|
0.35
|
0.0223
|
π
|
0.25
|
0.3
|
0.0238
|
K Promedio
|
0.0229
|
ü Momento de Inercia de Masas Puntuales:
r (m)
|
r² (m)
|
T(s)
|
T² (s²)
|
It (kg
m²)
|
0.05
|
0.025
|
2.65
|
7.0225
|
4.07X10-3
|
0.10
|
0.010
|
3.44
|
11.8336
|
6.86X10-3
|
0.15
|
0.0225
|
4.47
|
19.9809
|
11.59X10-3
|
0.20
|
0.040
|
5.59
|
31.2481
|
18.12X10-3
|
0.25
|
0.0625
|
6.75
|
45.5625
|
26.43X10-3
|
ü Teorema de los ejes Paralelos o de Steiner :
d
|
d^2
|
T
|
T^2
|
Id=(k/4pi^2)*T^2
|
0
|
0
|
4.67
|
21.8089
|
0.01266067
|
0.04
|
0.0016
|
4.72
|
22.2784
|
0.01293323
|
0.08
|
0.0064
|
5.28
|
27.8784
|
0.01618418
|
0.12
|
0.0144
|
5.91
|
34.9281
|
0.02027673
|
0.16
|
0.0256
|
7.08
|
50.1264
|
0.02909976
|
Datos:
|
||
R(disco)=
|
0.2
|
m
|
m(disco)=
|
0.6895
|
kg
|
Id=
|
0.01379
|
kg.m^2
|
%error(intersecto)=
|
12.26%
|
ü Momento de inercia del disco y esfera
T
|
T^2
|
I=(K/4pi^2)*T^2
|
|
ESFERA
|
1.81
|
3.2761
|
0.00190187
|
DISCO
|
4.55
|
20.7025
|
0.01201837
|
%error (esfera)=9.53%
%error (disco) =2.85%
|
Datos:
|
|
m(esfera)=
|
1.0725
|
r(esfera)=
|
0.07
|
Ie=
|
0.0021021
|
M(disco)=
|
0.6895
|
r(disco)=
|
0.2
|
Id=
|
0.01379
|
GRAFICOS:
Gráfico para el teorema de Steiner
Gráfico para el Momento de inercia de
masas puntuales
CÁLCULOS:
Cálculo de la pendiente (gráfico Idisco00
vs d2)
P1=
(8.7, 8.9)
P2=
(13, 10.3)
Porcentaje
de error
Cálculo de la pendiente (gráfico It vs r2)
P1=
(14.5, 11.1)
P2=
(11.2 , 9.0)
Porcentaje de error
ANÁLISIS DE
RESULTADOS:
Al parecer la práctica era sencilla, pero
teníamos que prestar mucha atención al momento de realizar la primera experimentación, la más
importante fue la primera ya que a partir de esta obteníamos el valor de K, el
cual iba a ser utilizado es resto de la práctica.
ü En la practica
se verificó que Momento de Inercia de cada cuerpo en el cual experimentamos era
la resistencia los mismos cuerpos a cambiar su velocidad angular, y con el
teorema de los ejes paralelos comprobamos que el disco aparte de tener un eje
en su centro de masa, también contaba con otros ejes los cuales iban variando
según el valor de “d”, por esta razón es que se le suma el Momento de Inercia
de la Varilla la cual seria el momento de inercia de su centro de masa, Por
esta razón ”It = Iv + 2ML² “.
ü Los diferentes
porcentajes de error se deben a razones como: la exactitud en detener el
cronómetro cuando los cuerpos con los cuales trabajamos se encontraban el la
posición indicada, también en las mediciones que se debían hacer.
CONCLUSIONES:
El Momento de
inercia depende de la masa y de la distancia ya que mediante el experimento
pudimos comprobar que ha medida que la masa y la distancia aumentaban, el
momento de inercia también lo hacía. Se verificó
los momentos de Inercia de una distribución de masas puntuales la cual resulto
ser de 0.0229 m. Se calculó el
momento de inercia de la esfera (0.00190187 kg.m², ) y del disco ( 0.01201837 kg.m²) Se comprobó el
Teorema de los ejes paralelos el cual es ”It = Iv + 2ML² “; donde Iv es el
momento de Inercia de la varilla (0.0039 kg m²) cuya formula es Iv=1/12 * ML². Al realizar
el grafico It vs r², y a la vez al interpolar se comprobó que el intersecto con
el eje y, era el Momento de Inercia de la Varilla.
Recomendaciones.
Se recomienda
hacer bien el primer procedimiento, debido a que el valor obtenido será de gran
utilidad parta el resto de la experimentación.
Bibliografía:
ü fisicauniversal.com
;
ü Folleto “Física Experimental A” Instituto de
Ciencias Físicas ESPOL.
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